Power Series   멱 급수, 거듭제곱 급수

(2022-04-17)

1.  급수, 거듭제곱 급수 (Power Series, 冪級數)

  ㅇ 각 항들이 xn (x의 거듭제곱/) 형태의 무한급수
       
[# f(x)=\sum^{\infty}_{n=0} c_n x^n = c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + \cdots + c_n x^n + \cdots #]
- (cn : 상수 계수, x : 변수) ㅇ 특징 : 변수 x 값에 따라 수렴 또는 발산 함 ㅇ 한편, 중심이 a인 거듭제곱() 급수 (Power Series about a) 는,
[# f(x) = \sum^{\infty}_{n=0} c_n (x-a)^n = c_0 + c_1(x-a) + c_2(x-a)^2 + \cdots + c_n(x-a)^n + \cdots #]
2. 급수의 주요 용도초등함수역 도함수(적분)를 구할 수 없을 때 ㅇ 함수의 표현 ☞ 멱급수 전개, 함수 근사(다항식 근사) 참조 ㅇ 미분방정식 풀이급수 해법 참조 3. 급수에 의한 함수의 표현 ㅇ 어떤 구간에서 급수에 의해 함수를 정의할 수 있음 - 모든 해석함수테일러 급수라고하는 거듭제곱 급수로 표현 가능 (테일러 전개) . 급수(거듭제곱 급수)는 대표적인 해석함수(Analytic Function) 임 ㅇ 특히, 자연 과학에서 나오는 중요 함수들이 급수에 의해 표현이 가능함 - Bessel 함수 ㅇ 각 항이 (x-a)n멱함수 급수 형태가 아닌 다른 형태의 급수 - 삼각 급수(Trigonometric Series) - 푸리에급수4. 급수의 수렴 ㅇ 주로, x 값에 의존함 - 급수 ∑cn(x-x0)n수렴하는 3가지 경우 . x = x0 에서 만 수렴 .. 즉, x = x0 에서 상수 항 c0를 제외하고는 모든 항이 0 이 됨 .. 별로 유용한 급수가 아님 . 모든 실수 x에 대해 수렴 .. 수렴구간이 전체 실수인 경우와 같음 . 수렴 반지름 내에서 수렴하고, 그 밖에서 발산수렴구간/수렴역 (region of convergence, ROC) - 급수가 수렴하는 x의 범위 . 즉, (x0 - R, x0 + R) - 모든 급수는 수렴구간을 갖음 ㅇ 수렴반경 (radius of convergence) R - 급수 ∑cn(x-x0)n 이 . |x - x0| < R 이면 수렴 . |x - x0| > R 이면 발산 - 만일, . 중심 x0에서만 수렴한다면, R = 0 . 모든 x에서 수렴한다면, R = ∞ - 수렴반경은 비율판정법 등에 의해 구할 수 있음 급수 수렴 판정 - 주로, 비율판정법(Ratio Test)을 사용함 ※ [참고] ☞ 급수의 수렴(Series Convergence) 참조

멱급수
   1. 멱 급수   2. 멱급수 공식   3. 삼각 급수   4. 테일러 급수   5. 푸리에 급수  


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