1. 추상 대수학 (Abstract Algebra) / 현대 대수학 (Modern Algebra)
ㅇ 수(數)나 식(式) 자체보다는, 대수적 연산과 그 연산이 만족하는 불변 성질을,
- 추상적으로 연구하는 수학 분야
. 특정 계산 기법보다는, 구조(structure) 와 규칙(law)에 초점을 둠
- 즉, 어떤 대수적 체계 내에서, 연산들이 불변인 성질을 규명하는 학문
ㅇ 연구 대상
- 주로, 다항 방정식의 풀이와 그와 관련된 수의 체계, 대수적 구조를 다룸
- 또한, 수 체계가 어떻게 확장되고 일반화되는지에 대한 이론적 분석 등
. 例) 5차 이상의 방정식의 풀이 가능성 (Soluble, Solvable)
.. 4차 이하의 방정식은, 근의 공식 처럼 다항식의 계수 만으로 공식화시켜 풀 수 있으나,
.. 5차 이상의 방정식은, 근의 공식 처럼 풀릴 수 있는 경우가 있을 수도 없을 수도 있음
. 위에서, solvable (풀이 가능성) 이란?
.. "해가 존재하는가?"가 아니라,
.. 근을 유한 번의 사칙연산과 근호로 표현할 수 있는가를 의미
ㅇ 특징 : (수학을 공리(公理)적으로 다루고 있음)
- 대수를 추상화시킨 성질에 의해 연구함
. 구체적인 수 대신, 연산이 만족해야 할 성질을 추상화하여 연구
- 즉, 공리적 접근 방식을 취함
. 공리를 바탕으로 한 전제로부터 정리를 만들어 내고,
. 이것이 옳은가를 증명을 통해서 확신을 가지면서,
. 온갖 대수적 성질(연산,집합,구조 등)들을 추상화시켜 규명해나감
ㅇ 의의
- 서로 전혀 달라 보이는 문제들이 같은 대수 구조를 공유함을 밝혀냄
- 수학뿐 아니라,
. 암호학, 오류정정부호, 정보이론, 물리학 등 다양한 분야의 이론적 기반 제공
※ [참고] ☞ 대수 구조 ( 군, 환, 체 ) 참조
- 일반인도 이해하기 쉽게 말하자면,
. 군이란? 덧셈과 뺄셈이 가능한 수학적 원소들의 집합
. 환이란? 덧셈, 뺄셈, 곱셈이 가능한 수학적 원소들의 집합
. 체이란? 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈이 모두 가능한 수학적 원소들의 집합