Eigenvalue Problem   고유값 문제, 고유치 문제

     (수정일:2017-09-13)

  [고유값문제]   
  1. `Eigen` 이란?
    1. 독일어 형용사로써, `고유의`,`특유의`,`특성의` 등의 뜻을 갖으며,
      1. 고유 값, 고유 벡터행렬의 본성에 관한 정보를 가지고 있음을 뜻함
  2. 고유값 문제 (Eigenvalue Problem)
    1. [선형대수]
      1. (문제 제시)
        1. 선형방정식 A x = λ x 를 만족시키는 λ에 대해 0 이 아닌 벡터 x 를 찾는 것
          1. 고유값(Eigenvalue) : 위 등식이 성립하게되는 λi
          2. 고유벡터(Eigenvector) : 위 고유값 λi에 대응하는 벡터 x
          3. 고유값 방정식(Eigenvalue Equation) : 위 선형방정식 A x = λ x 를 지칭
          4. 행렬 A : `시스템 행렬`, `선형변환(행렬변환) 연산자` 등으로 일컬어짐
      2. (문제 제시 例)
        1. 정방행렬 A 가 주어지고, 어떤 상수 λ 에 대해 위 등식을 만족하는 자명하지 않는 해(즉, 0 이 아닌 벡터) x 를 구하라.
          1. 즉, A xx상수배가 되는 0 이 아닌 벡터 x 의 존재여부 및 그 해를 찾음
      3. (풀이 순서)
        1. 정방행렬 (A - λI) 를 비정칙행렬이 되게하는 모든 고유치 λ 를 구하고,
        2. 각 λ에 대해 (A - λI) x = 0 를 만족하는 0 이 아닌 고유벡터 x 를 구하면 됨
      4. (응용 例)
        1. 행렬의 대각화에 대한 응용과는 별개로,
        2. 행렬의 본성에 대한 다양한 정보들을 줌
    2. [미분방정식]
      1. 미분방정식 해에 대한 특성 정보를 찾고자 함 ☞ LTI 고유함수 고유값 참조
        1. 고유 함수 : LTI시스템을 통과해도 기본성질이 변화하지않는 신호
          1. 例) 지수 함수, 정현 함수
          2. 만일, 입력이 정현파이면, 주파수는 입력과 동일하나, 진폭위상은 달라짐
        2. 고유값 : LTI시스템 출력은 특정값에서 고유함수의 복소 상수배가 됨
      2. 연립 미분방정식 해를 푸는데 응용 됨
        1. 편미분 방정식 해 ☞ Sturm-Liouville Problem 참조
  3. 고유값 문제에서 관심을 갖는 특징 例
    1. 공간적인 문제의 경우,
      1. 주로, 고유 벡터의 방향에 만 관심이 있고, 그 크기는 별 관심이 없음
    2. 시간,주파수 문제의 경우,
      1. 주로, 고유 함수주파수별로 시스템의 응답이 상수배하는 이득에 관심이 있음

[고유값문제]
1. 고유값 문제 2. 고유값,고유벡터 3. 고유 공간 4. 고유 함수 5. 닮음 행렬 6. 대각화 7. 특성 방정식 8. 거듭제곱법

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