Characteristic Equation, Auxiliary Equation, Characteristic Polynomial, Characteristic Root   특성 방정식, 보조 방정식, 특성 다항식, 특성근

     (수정일:2017-09-13)

  1. 특성 방정식(Characteristic Equation) / 보조 방정식(Auxiliary Equation)
    1. 입력과는 무관하며 시스템(특히,선형시스템)의 고유한 특성을 나타내는 방정식
  2. 특성 방정식에 대한 여러 동등한 정의식
    1. [미분방정식] 선형 동차 미분방정식 해와 관련된 대수적 방정식
      1. 상수 계수를 갖는 선형 동차 미분방정식(즉, LTI 시스템)으로부터,
      2. 일반해지수형태의 해 x(t)=eλx의 형태를 가질 것으로 기대되어,
      3. 이를 해로써 대입하였을 때 해당 미분방정식을 만족시키게되는 방정식
    2. [행렬/고유값] 정방행렬 A (시스템행렬)의 특성 방정식
      1. det(A - λI) = 0 : 특성 방정식
        1. P(λ) = det(A - λI) : 특성 다항식 (Characteristic Polynomial)
        2. det() : 행렬식 (Determinant)
      2. 일반적으로, 다음과 같이 λ의 방정식 형태를 갖음
        1. λn + c1n-1 + ... + cn = 0
    3. [제어전달함수] 폐루프 전달함수의 분모 다항식을 영으로 놓은 것
      1. T(s) = p(s)/q(s) = G(s)/{1 + G(s)H(s)} 에서 분모가 `0`
        1. 즉, q(s) = 0 또는 1 + G(s)H(s) = 0 (특성 방정식)
          1. q(s) 또는 1 + G(s)H(s) : 특성 다항식(Characteristic Polynomial)
    4. [상태방정식] 전달함수행렬에서 분모를 영으로 놓은 것
      1. |sI - A| = 0
  3. 특성 방정식의 유도 例
    1. 선형 미분방정식 으로부터 ⇒ 특성방정식 유도
      1. 미분방정식미분 연산자를 대입시켜 유도
        1. 상수계수의 2계 제차 선형 미분방정식 ay″+ by′+ cy = 0 에서
        2. 다음과 같이 해를 y = eλx, y′= λeλx, y″= λ2eλx로 가정하여 대입하면,
        3. 2eλx + bλeλx + ceλx = 0 -> eλx(aλ2 + bλ + c) = 0
        4. 여기서, eλx가 0 이 될 수 없으므로,
        5. 결국, 미분방정식을 만족시킬 수 있는 유일한 방법은 aλ2 + bλ + c = 0
        6. 이때의 aλ2 + bλ + c = 0 를 특성방정식이라고 함
    2. 전달함수 로부터 ⇒ 특성방정식 유도
      1. 전달함수 분모다항식을 0 으로 놓고 유도
        1. 상수계수의 2계 선형 미분방정식 ay″+ by′+ cy = dx″+ ex′+ fx 에서
        2. 미분연산자 sk = dky/dtk를 대입하면,
        3. (as2+bs+c)y(t) = (ds2+es+f)x(t)
        4. 시스템 전달함수는 H(s) = (ds2+es+f)/(as2+bs+c)
        5. 분모다항식을 0으로 놓으면 특성방정식이 얻어짐
  4. 특성방정식의 근/해 = 특성근(Characteristic Root)/고유값(Eigenvalue)
    1. 고유응답의 특성을 나타내는데 필요한 모든 정보를 갖게됨
    2. ※ 이는, 선형시스템 해석 및 풀이에 중요한 역할을 함 ☞ 고유치(Eigenvalue), 극점(Pole)

[2계(고계) 미분방정식]
1. 2계 미분방정식 2. 론스키안 3. 보조방정식,특성방정식 4. 선형 결합 5. 코시-오일러 방정식 6. 미분 연산자 7. 선형 연립 미분방정식
     [2계 미분방정식 풀이]
[고유값문제]
1. 고유값 문제 2. 고유값,고유벡터 3. 고유 공간 4. 고유 함수 5. 닮음 행렬 6. 대각화 7. 특성 방정식 8. 거듭제곱법
[시간 응답]
1. 시간 응답 2. 시험 입력 3. 특성방정식 4. 극점(Pole),영점(Zero)
     [단위계단응답]      [1차 시스템]      [2차 시스템]      [정상상태응답]

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