Moment about origin, Central Moment, Factorial Moment   확률 모멘트, n차 모멘트, 원점 적률, 중심 적률, 원점 모멘트, 중심 모멘트, 계승 적률

(2020-06-25)

모멘트, 적률

1. 확률 모멘트(적률)확률분포에 의해 대표값이 정해지도록 일반화시킨 통계량 표현


2. 확률변수 X에 대한 n차 모멘트(적률) 표현

  ※ n차 모멘트는, 확률변수에 대한 대표값(평균,분산,왜도,첨도 등)을 보다 일반화시킨 것
     - 즉, 확률분포 상의 여러 통계량을 일원적으로 살펴볼 수 있음
        . 대부분, 기대값함수로 표시함

  ㅇ 연속확률변수 n차 적률 : {# m_n = E[X^n] = \int^{\infty}_{-\infty} x^nf(x)dx #}
  ㅇ 이산확률변수 n차 적률 : {# m_n = E[X^n] = \sum_{x} x^np_{\scriptsize X}(x)dx #}


3. 확률 적률(모멘트)의 종류

  ㅇ 원점 적률(모멘트) (Moment about origin) 
     - 원점을 중심으로하는 k차 모멘트
        
[# m_k = E[X^k] = \left\{ \begin{array}{ll} \sum x^k p(x) & \text{(discrete)} \\ & \\ \int x^k f(x)dx & \text{(continuous)} \end{array} \right. #]
ㅇ 중심 적률(모멘트) (Central Moment) - 평균값을 중심으로하는 k차 모멘트 계승 적률(모멘트) (Factorial Moment) - E[X(X-1)···(X-k+1)] ㅇ 결합 적률(모멘트) (Joint Moment) - 결합 확률분포에 의해 정해지도록 일반화시킨 통계량 표현 4. k차 원점 적률(모멘트) 표현 例 ㅇ 0차 원점 적률(모멘트) : f(x)의 면적 - m0 = 1 ㅇ 1차 원점 적률(모멘트) : 평균에 대한 기대값 ㅇ 2차 원점 적률(모멘트) : 제곱평균(분산)에 대한 기대값 - m2 = E[X2] = ∑ x2 PX(x) = ∫ x2 f(x) dx ㅇ 3차 원점 적률(모멘트) : 왜도(Skewness) 기대값 (분포의 비대칭 정도의 측도) - m3 = E[X3] = ∑ x3 PX(x) = ∫ x3 f(x) dx ㅇ 4차 원점 적률(모멘트) : 첨도(Kurtosis) 기대값 (분포의 뽀족한 정도의 측도) - m4 = E[X4] = ∑ x4 PX(x) = ∫ x4 f(x) dx ㅇ k차 적률(모멘트) - 5. k차 중심 적률(모멘트) 표현 例 ㅇ 0차 중심 적률(모멘트) : f(x)의 면적 - μ0 = 1 ㅇ 1차 중심 적률(모멘트) - μ1 = 0 ㅇ 2차 중심 적률(모멘트) - 2차 중심 적률(모멘트)와 원점 적률(모멘트) 간의 관계 6. 적률생성함수 (Moment Generating Function, MGF)적률(모멘트)을 생성할 수 있는 특별한 함수기대값 - MX(t) = E[etX]


[통계량] 1. 통계량 2. 모멘트(원점적률,중심적률) 3. 적률생성함수 4. 비율
[집중경향] [산포/분산] [형태/모양]
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              2. 모멘트(원점적률,중심적률)
              3. 적률생성함수
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          2.   산포/분산
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