급수 종류, 급수 구분

(2020-08-07)

Infinite Series, 무한 급수, Arithmetic Series, 등차 급수, 산술 급수, Geometric Series, 등비 급수, 기하 급수, 조화 급수, 교대 급수

1. 급수의 종류

  ㅇ 유한,무한 급수
     - 유한 급수 (Finite Series)
        . 항의 수가 유한개
     - 무한 급수 (Infinite Series)
        . 항의 수가 무한개 (무수히 많은 실수들의 합을 나타냄)

  ㅇ 등차 급수 (Arithmetic Series)
     - 각 항 간의 차(差)가 일정
       
[# S_n = \sum^n_{k=1} a_k = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = \frac{n[2a_1 + (n-1)d]}{2} #]
. (a1 : 첫항, an : 끝항, d : 공차, n : 항의 수) ㅇ 등비 급수, 기하 급수 (Geometric Series) - 각 항 간의 비(比)가 일정 . 앞의 항에 일정한 수를 곱하여 다음 항이 됨 - 유한 등비급수 (기하급수) (Finite Geometric Series)
[# S_n = a + a r^1 + a r^2 + a r^3 + \cdots + a r^{n-1} = \frac{a(1-r^n)}{1-r} #]
- 무한 등비급수 (무한 기하급수) (Infinite Geometric Series)
[# S = a + a r^1 + a r^2 + a r^3 + \cdots = \frac{a}{1-r} #]
ㅇ p 급수
[# \sum^{\infty}_{n=1} \frac{1}{n^p} = \frac{1}{1^p} + \frac{1}{2^p} + \frac{1}{3^p} + \cdots \quad #]
(p : 양의 상수) - p > 1 일 때 : 수렴, 0 < p ≤ 1 일 때 : 발산 ㅇ 조화급수 (Harmonic Series)
[# \sum^{\infty}_{n=1} \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots #]
- p = 1 인 p 급수(조화급수) 일 때 : 발산 ㅇ 일반 조화급수
[# \sum^{\infty}_{n=1} \frac{1}{an + b} #]
ㅇ 교대급수 (Alternating Series) - 양수와 음수가 교대로 나타나는 급수
[# 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \cdots = \sum^{\infty}_{n=1} (-1)^{n-1} \frac{1}{n} #]
상수항 급수, 변수항 급수 - 상수항 급수 : 각 항이 상수로 만 구성
[# \sum^{\infty}_{n=1} a_n #]
- 변수항 급수 : 각 항이 변수로 구성
[# \sum^{\infty}_{n=0} x^n #]
멱급수 참조 ㅇ 각 항을 구성하는 함수 형태에 따라 - 멱 급수 (Power Series) . 각 항들이 xn 또는 (x-a)n 형태를 갖는 무한급수 - 테일러 급수 (Taylor Series) . 어떤 한 점에서의 함수 값을 중심점 a에서의 함수값과 미분값들로 표현한 급수 - 푸리에 급수 (Fourier Series) . 각 항들이 사인함수,코사인함수로 이루어진 급수 - 베셀 급수 (Bessel Series) . 각 항들이 베셀함수로 이루어진 급수 - 르장드르 급수 (Legendre Series)


[급수] 1. 급수 2. 급수 종류 3. 급수 공식 4. 급수 수렴
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