Numerical Integral   수치 적분

(2021-02-03)
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1. 수치 적분 (Numerical Integral)정적분을 수치적으로 근사하는(구하는) 문제

  ㅇ 수치 적분이 필요할 때
     - 함수 형태 적분 : 어떤 함수적분(피적분함수)을 해석적으로 구할 수 없을 때,
     - 도표 형태 적분 : 피적분함수가 알려지지 않고 단지 이산 값 만이 주어질 때


2. 근사정적분 이란?정적분근사값을 구하는 것
       
[# I = \int^b_a f(x) dx #]
- 적분 곡선 f(x) 아래와 x=a,x=b 선 사이의 면적을 구하는 것과 등가적임 ㅇ (용어) `수치 구적법(Numerical Quadrature)` 또는 `수치 정적분` 이라고도 함 ※ 구적법 (Quadrature) - 기지의 충분히 작은 기본 도형으로 세분하여 넓이부피 합을 구함 - 과거, 컴퓨터 이전의 도해적인 방법으로, . 세밀한 모눈 종이 위에 함수 그림을 그리고, . 그 곡선 아래 작은 정사각형 개수를 세는 등 3. 사각형 적분법 (Rectangular Integration) ㅇ 도해적인 구적법의 수치적인 해법 ㅇ 곡선 아래 분할 수직 직사각형 띠들의 면적의 합으로 적분 근사값을 구함
[# I \approx I_0 + I_1 + \cdots + I_{N-1} = \sum^{N-1}_{n=0} I_n \\ \quad = \sum^{N-1}_{n=0} (\text{width} \times \text{height}) = \sum^{N-1}_{n=0} \left[ (x_{n+1}-x_n) \times f\left(\frac{x_{n+1}-x_n}{2}\right) \right] #]
- 직사각형 각 띠의 중점이 함수 값과 일치 4. 개선된 적분 ※ 복잡한 함수나 수치화된 데이터들을 적분이 용이한 다항식으로 대체하여 구하는 방법 - 기본적으로, 피적분함수 f(x)를 근사적인 보간다항식 p(x)로 대체하고, 이 p(x) 곡선과 x=a,x=b 선 사이의 면적을 구함 ㅇ 뉴튼 코츠 공식 (Newton-Cotes Formula)
[# I = \int^b_a f(x)dx \approx \int^b_a p_n(x)dx \\ \quad p_n(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 +\cdots + a_{n-1}x^{n-1} + a_nx^n #]
ㅇ 사다리꼴 공식 (Trapezoidal Rule) - 사각형 적분법의 직사각형 띠를 사다리꼴로 대체하고, . 각 절점 구간 마다 선형 다항식으로 근사시켜 적분을 구함 - 각 구분 조각의 끝을 연결하는 일련의 선분으로 근사시키고, . 각 구분 조각의 양끝점 함수값들의 산술평균을 높이로 삼음 - 즉, . 각 부분 구간 : {# w = (b-a)/n, \quad x_i = a + iw \quad (i=0,1,2,\cdots,n) #} . 각 구분 사다리꼴 면적 : {# A_i = \frac{1}{2} w [f(x_{i-1})+f(x_i)] #} ㅇ Simpson 공식 (Simpson Rule) - 한번에 세절점 두 부분구간으로 나누고 2차 다항식으로 보간하여 적분하는 법 - 사다리꼴 공식의 확장 ㅇ 가우스 구적법 - 등 간격이 아닌 절점을 선택하여 구하는 방법 5. [기타] ㅇ 몬테칼로 적분 (Monte Carlo Integration) - 모의 실험을 통해 함수적분값을 추정하는 방법


[정적분] 1. 정적분 2. 정적분 공식 3. 수치 적분 4. 급수(시그마) 공식 5. 넓이 6. 부피
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