Two Body Problem   이체 문제, 2체 문제

1. 이체 문제 (Two-body Problem)

  ㅇ 중심력 또는 만유인력을 받으며, 상호작용하는, 두 물체의 운동을 다루는 문제
     - 주로, 두 물체가 인력에 의해 회전하는 문제
     
  ㅇ 많은 천체 운동은 이체 문제로 근사화시켜 접근함


2. 이체 문제의 운동방정식 도출

  ㅇ 항성(例,태양)에서 행성(例,지구)으로의 변위 벡터
       
[# \mathbf{r} = \mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1 #]

  ㅇ 뉴튼의 만유인력 법칙으로부터,
       
[# \mathbf{F} = -G\frac{m_1m_2}{r^2}\frac{\mathbf{r}}{r}
                       = -G m_1m_2 \frac{\mathbf{r}}{r^3} #]

  ㅇ 뉴튼의 제2법칙으로부터,
       
[# \mathbf{F} = m_2 \ddot{\mathbf{r}}_2 #]

  ㅇ 위 두 법칙 식을 결합하면, 행성,항성의 `개별 운동방정식`이 됨
       
[# m_2 \ddot{\mathbf{r}}_2 = -G m_1m_2 \frac{\mathbf{r}}{r^3} #]
       
[# m_1 \ddot{\mathbf{r}}_1 = -G m_1m_2 \frac{\mathbf{r}}{r^3} #]

  ㅇ 위 둘을 빼고 정리하면, 행성의 `상대 운동방정식`이 됨  
       
[# \ddot{\mathbf{r}} = -G(m_1+m_2) \frac{\mathbf{r}}{r^3} = -μ \frac{\mathbf{r}}{r^3} #]
       
[# \ddot{\mathbf{r}} + μ \frac{\mathbf{r}}{r^3} = 0 #]
     - {#μ=G(m_1+m_2)\approx Gm_1 \quad (m_1 \gg m_2)#} : 중력 파라미터
        . {#μ_{earth}=GM_{earth}=3.986 \times 10^{14}#} [㎥/sec2]

  ㅇ 위 방정식은, 기본 궤도 운동방정식을 나타내며,
     - 2차 미분을 포함하는 벡터의 미분방정식 임
        . 비선형 미분방정식 형태이므로, 해석적인 방법으로는 풀기 어렵고,
        . 통상, 수치해법을 통해 품
     - 극좌표계에서 볼 때, 6개의 미분방정식을 푸는 복잡한 문제 임
        . 따라서, 완벽한 해를 찾으려면, 6개의 적분 상수들을 필요로 함      ☞ 궤도 요소 참조