Analytic, Analytic Function, Analysis   해석적, 해석함수, 해석학

1. 해석학 (Analysis)

  ㅇ 통상, 미분,적분을 공통으로 사용하고, 이를 엄밀하게 다루는 수학 분야를 총칭함
     - 이산적이고 딱딱 끊어지는 듯한 수론과는 달리, 연속적이고 부드러운 대상을 탐구함
     - 주로, 무한,극한,수렴,근사 등에 대한 논의를 `보다 엄밀하게` 다룸
     - 간단히, 함수를 연구하는 학문을 일컫기도 함

  ㅇ 주요 분야
     - 함수 해석학 : 함수의 성질을 다루는 수학의 한 분야
        . 주로, 함수를 논리적이고 엄밀하게 다루고 있음
     - 벡터 해석학 : 벡터를 변수로 갖는 함수에 대한 미적분학
     - 텐서 해석학 : 벡터의 개념을 확장한 기하학적인 양을 다룸
     - 복소변수 해석학 : 복소수 변수의 함수 및 그 도함수,계산등의 성질을 다룸

  ※ 대수학(Algebra),기하학(Geometry)과 함께 수학의 중요한 3개 분야로 다뤄짐


2. 해석적 함수 (Analytic Function)

  ㅇ 해석적 (Analytic) : 어떤 함수를 해석적 이라고 한다면? 그 뜻은?
     - ① 무한번 미분가능
        . 함수 f가 어떤 점 x0에서 해석적이려면,
        . 적어도 f가 x0에서 무한번 미분가능(도함수를 갖음)하여야 함
           .. 그러나, 무한번 미분가능하다고 꼭 해석적인 것은 아님
     - ② 국소적(어떤 점 근방에서)으로 멱급수로 수렴가능
        . 함수 f(x)가 x0를 포함하는 열린구간에서 멱급수로 표현 가능할 때
          ,
        . f(x)를 x0에서 해석적이라고 함

     * 라그랑주(Joseph Louis Lagrange,1736~1813)의 `해석적`에 대한 제안
        . 모든 함수를 무한번 미분가능하고, 멱급수로 전개 가능하다고 가정하였음
        . 이러한 특징을 갖는 함수를 오늘날 해석 함수라고 불려지고 있음

  ㅇ 해석 함수 (Analytic Function)
     - 무한번 미분가능하고, 국소적으로 수렴하는 멱급수로 나타낼 수 있는 함수

  ㅇ 전 해석함수,정 함수 (Entire Function)
     - 정의역 전체에서 해석적인 함수

  ㅇ 특이점 (Singular Point)
     - 함수가 해석적이지 못한 점


3. 해석적 해 (Analytic Solution) = 닫힌 형식의 해 (Closed Form Solution)

  ㅇ 해석적 풀이
     - 이미 확립된 해법을 이용하여 해석적으로 정확한 해를 구하는 방법

  ㅇ 만일, 어떤 미분방정식의 해가 해석적이라고 한다면,
     - 그 미분방정식을 만족하는 `구체적인 함수`를 제시할 수 있어야 함
        . 이때의 해를 닫힌 형태의 해(Closed-form solution)라고 함

     * 닫힌 형식 (Closed Form) 이란?
        . 삼각함수,지수함수,그 합성함수 등의 초등함수 또는 잘 알려진 함수로 표현할 수 있다는
          의미를 갖는, 비 형식적인 용어

  ㅇ 그러나, 대부분의 비선형 미분방정식이나 변수계수 미분방정식 풀이가 해석적 해를
     얻을 수 없음
     - 이 경우에, 컴퓨터에 의해 수치적인 결과 해 만을 구한다면,
        . 이는 수치해석적 방법(Computational Method) 이라고 함