Orthogonal, Orthogonality   직교성, 직교

(2023-07-28)

직교성 판단


1. 직교성 (Orthogonality)

  ㅇ 의미
     - 수학적으로, 각 요소들이 서로 독립적임을 나타내는 용어
     - 일반적으로, 신호/현상 상호 간에 전혀 관련성이 없음을 의미

  ※ `직교`의 어원
     - 그리스어 `orthos` : 곧은(straight),옳은/정확한(right,true),직각을 이루는 등을 의미
     - 직교(直交) : `직각(直角)으로 만나다(交)`의 뜻

  ※ `직각`,`직교` 용어 차이
     - 둘 다 같은 의미를 갖으나,
     * 직각(perpendicular)은, 기하학적인 용어이고, 
     * 직교(orthogonal)는, 기하학대수학 등 모두를 포괄하는 광의의 용어

  ※ `직교성`,`상관성` 용어 차이
     - `직교성`  <-(반대)->  `상관성`
        . 통상, 수치 `0`에 가까우면 직교적이고, 수치 `1`에 가까우면 상관적 이라고 말함

  ※ `직교성`,`상관성` 등 비교의 개념에 대한 폭넓은 이해는,  ☞ 비교(같음/닮음/다름) 참조


2. 벡터, 함수 등에서 직교성 판단벡터 직교성의 판단
     -  두 벡터내적(Inner Product/Dot Product)이 `0`
        .  {# < \mathbf{x},\mathbf{y} > \;=\; \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} \;=\; \mathbf{x}^T \mathbf{y} \;=\; 0 #}

     * `내적`이라는 수치값에 의해, 
        . `벡터`가 비로소 기하학적인 의미(크기,각도,거리 등 스칼라량)를 부여 받음

     * 만일, 두 벡터가 직교하면, 다음의 피타고라스 정리가 성립함
        .  {# || \mathbf{u} + \mathbf{v} ||^2 = ||\mathbf{u}||^2 + ||\mathbf{v}||^2 #}
 
  ㅇ 함수 또는 신호 직교성의 판단
     - 두 함수를 곱하여 적분한 결과가 `0`
        . 실수 함수
          
        . 복소수 함수
          

     - 유한구간 (a,b)에서의 직교성
        

     * 대표적인 직교성 검토 例) (정현파 신호,복소지수 신호)
        행렬 직교성의판단
     - 두 행렬 간의 행렬 곱셈한 결과가 `0 벡터 (영벡터)`
        .  A ·B = 0


3. 직교 집합, 직교 공간 이란?

  ※ ☞ 직교 집합 (Orthogonal Set), 직교 공간 (Orthogonal Space) 참조
     - 집합 : 범위가 확정된, 구체적인 대상이 정해진 어떤 요소들의 모음
     - 공간 : 집합의 요소들이 어떤 대수적 구조를 갖는 틀 내에서 그려내는 공간
     - 생성 : 집합이 어떤 규칙에 따라 공간생성함
     - 직교 : 구성 요소들 간에 서로 독립적/관계없음


4. 분야별 직교성 의미

  ㅇ [신호 해석 분야]  `직교(直交)`
     - 어떤 신호들이 무리를 이루고 있을 때 이 무리에 속한 임의의 두 신호를 선택하더라도,
     - 이 두 신호가 서로 직교함(독립적임) 
        . 어느 하나의 신호라도 신호 무리들 중 다른 신호들의 결합된 형태로 표현 못함
           .. 직교 신호 例) cos (2πfct) 및 cos (2πfct + 90˚) = - sin (2πfct)

  ㅇ [푸리에 급수]  `신호푸리에급수 표현`
     - 직교기저 함수정현파 또는 지수신호들의 무한 집합을 이용하여,
     - 주기신호무한급수 형태로 표현

  ㅇ [통신 변조 분야]  `동위상 (In-phase)` 및 `직교위상 (Quadrature)`
     - 위상이 상호 직각(90˚)으로 직교한다는 의미로써, 
     - 동위상(In-phase) 및 직교위상(Quadrature) 으로 구분 가능
     * [참고] ☞ 직교위상변조(QM), 복소포락선, 직교위상천이변조(QPSK) 등 참조

  ㅇ [코드 분야]  `직교 코드 (Orthogonal Code)`
     - 서로 다른 코드 사이에 상호상관이 0 인 코드를 말함 ☞ 왈쉬코드(Walsh Code) 참조

직교성
   1. 직교성   2. 직교 집합   3. 정규 직교  
비교 (같음/닮음/다름)
   1. 비교 이란?   2. 동치   3. 합동   4. 닮음   5. 상관   6. 차이   7. 직교(직각)  
직교성
   1. 직교성   2. 그람 슈미트 직교화 과정   3. 일차,이차 형식  
벡터의 크기,각도,거리,직교,투영
   1. 내적   2. 크기(노름)   3. 거리   4. 직교   5. 외적   6. 투영   7. 슈바르츠 부등식   8. 피타고라스 정리  


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