DFT   Discrete Fourier Transform   이산 푸리에 변환

(2018-02-14)

IDFT, 역 이산 푸리에 변환

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이산푸리에변환(DFT)   1. DFT(이산푸리에변환)
  2. DFT 성질
  3. 회전 인자
  4. DFT 계산
  5. FFT(고속푸리에변환)
  6. 컨볼루션 합

1. 이산 푸리에 변환 (DFT, Discrete Fourier Transform)디지털 시스템 설계신호처리 및 해석에 광범위하게 사용되는 변환
     - 신호 및 시스템에 대한 `유한 이산시간` 및 `유한 이산주파수`의 변환 해석
     - 디지털 계산능력에 의해 복잡한 표 찾기나 수식 풀이 없이 실제 응용에 적용가능


2. 이산푸리에변환 주요 특징

  ㅇ (이산적)  시간 및 주파수 영역에서 모두 이산적임
     - `시간 상의 신호 표본`들로부터 `주파수 상의 스펙트럼 표본`을 대응시켜 구하는 방법
    
  ㅇ (유한적)  시간 및 주파수 영역에서 모두 유한 샘플 형태
     - `시간 제한` 및 `대역 제한`된 유한 샘플들 만으로 변환 가능케함 (윈도우에 의해)

  ㅇ (주기적)  시간 샘플 수열주파수 샘플 수열 모두 주기성을 갖음
     - 보통, 시간 및 주파수 샘플 수를 같도록 하여 계산 취급 용이성을 줌

  ※ 즉, 컴퓨터 수치 계산을 가능케 하기 위해, 서로 대응되는 구조를 갖게 함
     - 즉, `이산 주기 시간 신호` ↔ `이산 주기 주파수 스펙트럼`
        . 주기적인 N개 유한 시간 샘플 수열에 대해, 
        . 주기적인 N개 유한 주파수 샘플 계수를 대응시킴


3. 이산 푸리에 변환

  

  ㅇ DFT  (이산 푸리에 변환,     분해식)
     

  ㅇ IDFT  (역 이산 푸리에 변환, 합성식)
     

  ※ 위 변환 관계식에서 주요 표현 항
     - 주기적인 유한 시간/주파수 샘플 수 : N
     - 디지털 라디안 주파수 (Ω)
        . Ω = Ωo·k = (2π/N)·k  (k = 0,1,...,N-1)
     - Twiddle Factor(회전인자) : WN = e-j2π/N
        . 이는 복소지수 항을 간결히 표현하기 위한 것
        . WNkn = e-j(2π/N)kn 에서,
           .. k(유리수)는, 0~2π 사이에서 균등 구분된 이산주파수이고,
           .. n(정수)은, n번째 항을 가리킴
           .. N은, 주기를 나타냄


4. 타 변환과의 관계

  ㅇ DFT 및 DTFT 간의 관계
     

     - 유한 이산 신호DTFT하여 얻어진 연속 주기 스펙트럼을 등간격 샘플링한 것을 역변환하면
       이산 주기 신호가 얻어짐
        . 주기 신호스펙트럼이 이산적이지만, 
        . 비 주기 신호이산 신호라도 스펙트럼은 연속이므로,
        . 스펙트럼 역시 이산적으로 표현해야 함으로 주파수 샘플들을 취할 필요 있음

  ㅇ DFT 및 z 변환 간의 관계
     - DFT는 z 평면상의 단위원주 위에 있는 등간격 N개 점에서 z 변환의 값을 구한 것과 같음


5. DFT 성질

  ※ ☞ `이산 푸리에변환 성질` 참조
     - 주기성, 선형성, 시간이동성, 대칭성(헤르미트 대칭) 등


6. DFT 계산상의 특징

  ※ ☞ DFT 계산 참조


[푸리에변환 표현 종류] 1. CTFS(연속시간 푸리에급수) 2. CTFT(연속시간 푸리에변환) 3. DTFS(이산시간 푸리에급수) 4. DTFT(이산시간 푸리에변환) 5. DFT(이산푸리에변환) 6. FFT(고속푸리에변환)

 
        최근수정     참고문헌