Integral Domain   정역

1. 정역 (Integral Domain)

  ※ 정수를 추상화한 것

  ㅇ 곱셈 항등원(단위원,1)을 갖고, 영 인자(0의 약수)를 갖지 않는, 가환환

  ※ 여기서, 영 인자 (Zero Divisor) 이란?
     - 통상 (특히, 이항 구조 하에서는), 
        . 자연수,정수,유리수,무리수,실수 등에서는, 
        . 두 수의 곱 형태가 0 이려면, 적어도 둘 중 한 원소가 0 이어야 함
        . 즉, a = 0 또는 b = 0 일때 만, 비로소 a b = 0 이 됨
     - 그러나, 특별한 대수 구조 하에서는, 
        . 비록, 0 이 아닌 두 수를 곱하여도, 0 이 되는 경우가 있음
        . 이때, 곱해지는 두 수를 영 인자 라고 함

  ㅇ (정역의 정의)
     - R을 단위원(곱셈 항등원)을 갖는 가환환이라 하고, 임의 a,b ∈ R에 대해,
     - a b = 0 일때, a = 0 또는 b = 0 을 만족하면, R을 정역 이라고 함


2. 정역의 특징, 성질

  ㅇ 단위원 1을 갖음
  ㅇ 영 인자(0의 약수)를 갖지 않음
     - 따라서, 곱의 형태가 0 이려면, 반드시 적어도 둘 중 한 원소가 0 이어야 함
  ㅇ 만일, 정역에서 영이 아닌 모든 원소가 곱셈 역원을 가지면, 이는 체가 됨


3. 정역의 例) 
  
  ㅇ 정수,유리수,실수,복소수 등
  ㅇ 소수체(Prime Field) Z = {0,1,...,p-1} (p는 소수)
  ㅇ 정수 계수 다항식환 Z[x] 등