1. 다변량 가우시안 분포 (다변량 정규 분포)
[# f(X_1,\cdots,X_n) = \frac{1}{\sqrt{(2\pi)^n|\mathbf{Σ}|}} \; \exp \left( -\frac{1}{2} (\mathbf{X}-\mathbf{μ})^T \mathbf{Σ}^{-1} (\mathbf{X}-\mathbf{μ}) \right) #]
※ [요약 설명]
ㅇ {#\mathbf{X}=(X_1,X_2,\cdots,X_n)^T#} : n 차원 확률변수 즉, 확률벡터 (다변량 확률변수)
- 확률벡터 : 다변량 확률변수를 벡터로 표기한 것
ㅇ {#X \sim N(\mathbf{μ},\mathbf{Σ})#} : n 변량 {#X#}가 따르는 정규분포(n 차원 정규분포)에 대한 표기
- 두 개의 모수 {#μ#} (평균벡터), {#Σ#} (공분산행렬)에 의해 결정되는 확률적 분포를 나타냄
ㅇ {#f(X_1,\cdots,X_n)#} : n 차원 확률변수 즉, 확률벡터의 결합 확률밀도함수
- 결합 확률밀도함수 : 2 이상의 이산확률변수들을 동시에 함께 고려하는 결합분포 함수
* [참고]
. 가우스 함수 : [# f(x) = \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{-\frac{x^2}{2}} #]
. 1차원 가우스 분포(정규 분포)의 확률밀도함수 : [# f_X(x) = \frac{1}{σ\sqrt{2π}}\;e^{-\frac{(x-μ)^2}{2\,σ^2}} #]
.. (X : 확률변수, μ : 평균, σ : 표준편차, σ2 : 분산)
ㅇ {#\mathbf{Σ}#} : 공분산 행렬 (Covariance Matrix)
- 2 이상의 변량들에서, 변량 값들 간의 공분산(또는 상관계수)들을 행렬로 표현한 것
ㅇ {#|\mathbf{Σ}|#} : 공분산 행렬의 행렬식 (Determinant)
- 행렬식 : 행렬(주로,정방행렬)을 하나의 수로써 대응시킴
ㅇ {#Σ^{-1}#} : 공분산 행렬의 역행렬 (Inverse Matrix)
- 역행렬 : 실수에서의 곱셈 역원과 유사
ㅇ {#( )^T#} : 전치 (Transposition)
- 전치 행렬 : 모든 행과 열을 바꾼 행렬 (A = [aij] ↔ AT = [aji])
ㅇ {#\mathbf{μ}=(μ_1,μ_2,\cdots,μ_n)^T#} : 평균 벡터 (Mean Vector)
- 각각의 차원(좌표) 마다 평균한 것(즉,기대값)들을 모아서, 벡터화한 것
2. 例) 2 변량일 때의, 가우시안 랜덤변수의 결합확률분포
ㅇ 2개의 가우시안 확률변수가 결합되어 나타내는 이변량 정규분포
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