Geometric Transformation, Geometric Linear Transformation, Geometric Graphic Transformation   기하 변환, 기하학적 변환, 기하학적 선형변환, 기하학적 그래픽 변환

(2023-11-29)

Similarity Transformation, 유사 변환, 닮음 변환, 상사 변환, Isometry, 등거리 변환, 강체 변환


1. 기하 변환 (Geometric Transformation)반사,회전,평행이동,신장(늘리기),전단,투영 등을 다루는 기하학변환

  ※ 한편, 다양한 형태의 기하학적 변환 하에서 불변인 것을 찾는 이론은, ☞ 군론 참조

 
2. 기하학적 변환의 응용  :  (Geometric Graphic Transformation)영상 내 물체 간의 기하학적 관계를 변환시킴으로써, 화소의 재배치를 이루는 변환
     - 영상 객체(점,선,도형 등) 간의 크기,위치,방향 등 공간 관계를 바꾸는 변환
     - 크게, 크기,이동,회전 변환컴퓨터 그래픽스 상의 다양한 장치들은,
     - 저마다 고유한 좌표계를 사용하는데, 이들 간의 변환에 기하학적 변환이 사용됨
  ㅇ 또한, 애니메이션 내 물체 이동,보는 각도 조절 등에도 이용됨


3. 기하학적 변환의 구분

  ㅇ 등거리 변환/등장 변환 (Isometry : 그리스어 `isometros`는 `equal measure`을 뜻함)
     - 수학적으로, Rn에서 Rn로 가는 함수로써, `거리를 보존하는 변환`
        . 例) 평행이동(Translation), 반사(Reflection), 회전(Rotation)
        . 모든 등거리 변환은, 평행이동,반사,회전 또는 이들의 합성 임

     - 물리학적으로, `강체 변환 (Rigid Transformation)`은 `등거리 변환`의 일종임
        . 변환 전후에, 정점(Vertex) 간의 거리가 그대로 유지됨
           .. 이동(Translation), 회전(Rotation) 만에 의한 변환

     - 기하학에서, 한 도형이 적절한 등거리 변환을 하면, 두 도형 간에는 합동 임

  ㅇ 기하학선형 변환 (Geometric Linear Transformation)
     - 선형변환기하학적으로 보여주는 변환 관계
        . 컴퓨터 그래픽스 등에 많이 활용됨
        . 영상 굴곡이 발생 안함

     - 유사 변환 / 닮음 변환 / 상사 변환 (Similarity Transformation) 
        . 변환 전후에, 특징(모양)이 그대로 유지됨
           .. 즉, 각이 그대로 유지되고, 정점 간의 거리가 일정 비율로 유지됨
           .. 크기는 변할 수 있으나, 모양은 변하지 않음

        . 즉, 강체 변환 (Rigid Transformation) 에다가, 
           .. 크기조절(Scaling), 반사(Reflection) 변환이 추가된 것

        . 한편,
           .. 기하학적인 닮음의 의미는,     ☞ 닮음(Similarity) 참조
           .. 행렬 간의 닮음 및 그 변환은,  ☞ 닮음 행렬(Similarity Matrix) 참조

     - 어파인 변환 (Affine Transformation)
        . 유사변환에 전단(Shear),차등 크기조절이 추가됨
        . 어파인 변환 전후에, 
           .. 직선직선, 다각형다각형, 곡면곡면, 평행 선분은 평행으로 유지됨

     - 원근 변환 (Perspective Transformation)
        . 변환 전후에, 직선에서 직선으로 변환되는 정도 만 유지됨

     * 어파인변환,원근변환은 엄밀하게 수학적 의미에서는 선형변환이 아님

  ㅇ 기하학비선형 변환 (Geometric Nonlinear Transformation)
     - 워핑(warping), 모핑(morphing) 등
        . 영상 굴곡이 발생됨


4. 기하학적 변환의 例)

  ※ ☞ 기하변환 예 참조
     - 비례 변환 (확대,축소), 회전 변환, 반사 변환, 층밀림 변환, 어파인 변환

디지털 영상처리
   1. 디지털 영상처리   2. 픽셀   3. 질감   4. 그레이 스케일   5. 영상 변환   6. 기하 변환   7. 영상 처리 용어   8. OpenCV  
그래픽 표현
   1. 그래픽 표현   2. 프리미티브   3. 그래픽 좌표계   4. 기하 변환   5. 동차 좌표   6. 투영   7. 시야각  
선형변환
   1. 선형 변환   2. 행렬 변환, 표준 행렬   3. 기하 변환   4. 기하 변환 예   5. 아핀 변환  


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