BVP   Boundary Value Problem, Boundary Condition   경계값 문제, 경계 조건

1. 경계 조건 (Boundary Condition)

  ㅇ 미분방정식의 해가, 어떤 일정 구간 양끝에서, 만족해야하는 조건
     - 즉, 구간 영역의 경계(각기 다른 여러 개의 점)에 부과되는 조건

  ㅇ 미분방정식의 일반해에 포함되는 임의 상수를 정하는데 필요함

  ㅇ 한편, 초기조건도 경계조건 중의 하나로 간주될 수 있음


2. 경계조건의 유형들

  ㅇ Dirichlet 경계조건 :  u(a) = 0 , u(b) = 0 
  ㅇ Neumann 경계조건   :  u'(a) = 0 , u'(b) = 0 
  ㅇ Robin 경계조건     :  α1u(a) + α2u'(a) = 0 , β1u(b) + β2u'(b) = 0 


3. 경계값 문제 (Boundary Value Problem) 이란?

  ㅇ 경계조건들을 갖는 미분방정식에서, 그 경계조건을 만족하는 해를 구하는 문제

  ㅇ (형식 例) 
     - 종속변수 y 및 그 도함수가 각기 다른 점에서 주어지는,
     - 2계 이상의 미분방정식의 경우
      

  ㅇ (표준형) 2계 선형 미분방정식의 경계값 문제의 표준형
     - {# y'' + P(x)y' + Q(x)y = ψ(x) #}
        . {# α_1y(a) + β_1y'(a) = γ_1 #} (점 a 경계조건)
        . {# α_2y(b) + β_2y'(b) = γ_2 #} (점 b 경계조건)

     - 제차(homogeneous) : 미분방정식 및 경계조건 모두 0 일 경우
        . (즉, {#ψ(x)=0,γ_1=γ_2=0#})


4. 초기값문제,경계값문제의 비교

  ㅇ 초기값 문제 : 단 하나의 점에 대한 조건이 제시됨
     - 例 :  y”+ y = 0,  y(0) = 0,  y'(0) = 1

  ㅇ 경계값 문제 : 1 이상의 점에 대한 조건이 제시됨
     - 例 :  y”+ y = 0,  y(0) = 0,  y(π) = 0


5. 경계값 문제가 자주 나타나는 응용 例)

  ㅇ 어떤 영역 경계에서, 경계조건(전하,전위) 만을 알고서,
     - 영역 전반에 걸친 장(場)의 분포(전위 분포,전계 분포)를 구하는 문제

  ㅇ 전계의 접선성분이 도체 표면에서 0 이 된다는 전계 경계조건을 이용하여,
     - 경계값 문제의 해(解)인 전류 분포를 구하는 문제

  ㅇ 편 미분방정식 풀이에서 주로 등장
     - (주요 형태 : Sturm-Liouville 경계값 문제)
        . X" + λX = 0  (0 < x < L)
        . X(0) = 0, X(L) = 0
        . (통상, 편미분방정식에 변수분리법을 적용하여 풀이함)

  ※ [참고용어] ☞ 포아송방정식,라플라스방정식 등


6. 경계값 문제의 풀이 방식

  ㅇ 해당 미분방정식의 일반해를 구하고, 임의 상수를 구하고자 경계조건을 대입함


7. 경계값 문제에서, 해의 성질

  ㅇ 통상, 2계 미분방정식의 초기값문제는,
     - 계수함수 p2(x),p1(x),p0(x)가 연속이고 p2(x)≠0이면, 유일한 해를 갖게됨

  ㅇ 그러나, 경계값문제는,
     - 미분방정식 및 경계조건이 조금만 변해도, 그 해의 성질이 크게 달라짐 
        . [참고] ☞ 도파관 전파모드 등 참조

     - 또한, 해의 존재 형태가 셋 임 : (유일한 해, 해가 없음, 무수히 많은 해) 


8. 경계값 문제에서, 해의 존재성(Existence)과 유일성(Uniqueness)

  ※ ☞ 경계값문제 해의 존재성 및 유일성 참조